WEEK 3
1. Dominance and Best Response
This chapter develops and compares the concepts of dominance and best response. The chapter begins with examples in which a strategy is dominated by another pure strategy, followed by an example of mixed strategy dominance. After the formal definition of dominance, the chapter describes how to check for dominated strategies in any given game. The first strategic tension (the clash between individual and joint interests) is illustrated with reference to the prisoners’ dilemma, and then the notion of efficiency is defined. Next comes the definition of best response and examples. The last section of the chapter contains analysis of the relation between the set of
undominated strategies and the set of strategies that are best responses to some beliefs. An algorithm for calculating these sets is presented.

Lecture Notes
The following may serve as an outline for a lecture.
• Optional introduction: analysis of a game played in class. If a 3×3 dominance solvable game (such as the one suggested in the notes for Chapter 4) was played in class earlier, the game can be quickly analyzed to show the students what is to come.
• A simple example of a strategy dominated by another pure strategy. (Use a 2 × 2 game.)
• An example of a pure strategy dominated by a mixed strategy. (Use a 3 × 2 game.)
• Formal definition of strategy si being dominated. Set of undominated strategies for player i, UDi;
Perkufizim: Nje strategji e paster si e lojtarit i eshte e dominuar nese ka nje strategji (te paster apo te perzier) σ ∈ ΔSi te tille qe ui(σi, s-i) > ui(si, s-1) per te gjitha profilet strategjike s-1 ∈
S-i te lojtareve te tjere.
• Discuss how to search for dominated strategies.
Medodologjia e kerkimit per strategji te dominuara
1. Se pari, kini parasysh se ka shume strategji te ndryshme per t’u kerkuar. Per shembull, ne lojen e bere ne klase, (1/2, 1/2, 0), (3/5, 2/5, 0), (1/3, 1/3, 1/3) jane kater nga nje numer i pafund i startegjive per lojtarin 1. Te katerta e dominojne strategjine D.
2. Se dyti, kur kerkon nje strategji te perzier qe dominon nje strategji te paster shiko per mundesi alternuese te numrave te medhenj e te vegjel ne matricen e utiliteteve. Kjo do t’ju ndihmoje te geni strategjite te cilave mund t’u jepet probabilitet pozitiv nga nje strategji e perzier.
3. Qe te tregohet qe nje strategji eshte e dominuar, mbani ndermend se ju keni nevoje te gjeni vetem nje strategji (te paster apo te perzier) qe e dominon ate. Nese, per shembull, gjeni qe strategjia X eshte e dominuar nga strategjia Y, puna jote e krye; ti nuk ke nevoje te kerkosh per dominim nga strategjite e perziera.
4. Se fundmi, beni kujdes te kontrolloni vetem utilitetet e duhura; kur vleresoni strategjite e lojtarit i, you duhet te shikoni vetem tek utilitetet e lojtarit i dhe te askujt tjeter.
Pabarazia strikte (e plote): ui(σi, s-i) > ui(si, s-i) dhe jo ui(σi, s-i) ≥ ui(si, s-i) Keshtu, qe nje strategji te dominoje nje tjeter, e para duhet te jape me shume se sa jep e dyta. Nje strategji nuk e dominon tjetren nese ato japin te njejtat utilitete ndaj strategjive te lojtareve te tjere: dominim i plote.
Teoria me e pranueshme e sjelljes eshte qe lojtaret nuk luajne teori te dominuara. Sic verejtem me pare, luajtja e nje strategjie te dominuar nuk eshte racionale ne kuptimin qe perfitimet e dikujt mund te rriten duke lujatur nje strategji tjeter, pavaresisht se cfare ben ne loje lojtari tjeter.

• The first strategic tension and the prisoners’ dilemma.
1. Zhvendosim racionalitetin nga fitimi i lirise me cdo kusht tek ruajtja e jetes;
2. E transformojme lojen nga nje loje jo-bashkepunuese ne nje loje bashkepunuese (kontrata);
• Definition of efficiency and an example: s eshte me eficient se s’ nese ui(s) ≥ ui(s’) per cdo lojtar i dhe nese pabarazia eshte e plote per te pakten nje lojtar.
Themi qe s eshte me eficiente se s’ nese te gjithe lojtaret preferojne perfundimet e s ndaj perfundimeve te s’ dhe nese preferenca eshte e plote per te pakten nje lojtar.
Perkufizim: Nje profil strategjish quhet eficient nese nuk ka ndonje profil strategjish qe te jete me eficient, domethene, nuk ka profil tjeter strategjish s’ te tille qe ui(s’) ≥ ui(s) per cdo lojtar i dhe uj(s’) > uj(s) per ndonje lojtar tjeter j. Kjo perkon me shprehjen Pareto Eficient [Pareto efficient].
• Best response examples. (Use simple games such as the Prisoners’ Dilemma, the Battle of the Sexes, Matching Pennies, Coordination Games);
• Formal definition of si being a best response to belief θ-i. Set of best responses for player i, BRi(θ-i). Set of player i’s strategies that can be justified as best responses to some beliefs, Bi.
Perkufizim: Pergjigja me e mire eshte strategjia e zgjedhur e cila, sipas besimit tuaj, jep utilitetet me te medha te priteshme. Supozojme se lojtari i ka nje besim θ-i ∈ ΔS-i rreth nje strategjie te luajtur nga lojtaret e tjere. Strategjia s-i ∈ S-i e lojtarit i eshte pergjigja me e mire nese ui(s, θ-i) ≥ ui(s’, θ-i ) per cdo si’∈ Si .
Mund te kete me shume se nje pergjigje me te mire per nje besim te dhene. Nuk eshte e veshtire te tregohet se, ne nje loje te fundme, cdo besim ka te pakten nje pergjigje me te mire. Per cdo besim θ-i te lojtarit i ne shenojme bashkesine e pergjigjeve me te mira PMM [BR](θ-i).
• Note that forming beliefs is the most important exercise in rational decision
making.
Luajtja e pergjigjes me te mire sipas besimit te dikujt rreth levizjes se te tjereve nuk eshte ne vetvete nje veprim strategjik. Dikush mund ta mendoje ate si thjesht ushtrim llogarites te shoqeruar me racionalitetin. Formimi i besimit eshte perberesja me e rendesishme e nje strategjie. Per shembull, supozoni se po luani lojen e pasqyruar ne figuren 6.3 si lojtar 2 dhe po i diskutoni synimet tuaja me nje shok. Ju mund t’i shpjegoni shokut se, ne baze te njohurive tuaja rreth lojtarit 1, you mendoni se lojtari 1 me siguri do te zgjedhe strategjine B ne loje. Keshtu pra, ju planifikoni te zgjidhni po ashtu B-ne. I zemeruar me qendrimin tuaj, ai ju kritikon ju qe u dorezuat. Ju duhet te kerkoni perfundimin me te mire per veten tende duke luajtur A-ne, thote ai. A duhet ju ta ndiqni keshillen e tij?
Perberesja me thelbesore e sjelljes eshte formimi i besimeve. Ne fakt, ketu qendron edhe mjeshtria e vertete e teorise se lojes. Suksesi ne lojra shpesh varet nese ju e kuptoni kundershtarin tuaj me mire nga sa ju kupton ai juve. Ne shpesh flasim per t’ia hedhur te tjereve. Ne fakt, besimet jane subjekt studimi edhe ato. Shumica e punes tone ne pjesen qe mbetet te ketij kursi ka te beje me percaktimin se cilat besime jane racionale ne lojra. Te pajisur me konceptet e dominimit dhe pergjigjes me te mire, ne mund te vazhdojme te studjojme sjelljen strategjike duke vendosur besimet e lojtareve ne qender te vemendjes.
UDi — bashkesia (seti) e strategjive per lojtarin i qe nuk jane te dominuara plotesisht;
Bi — bashkesia e strategjive per lojtarin i qe jane pergjigjet me te mira sipas te gjitha besimeve te mundeshme te lojtarit i. Matematikisht:
Bi = {si eshte nje besim θ-i ∈ ΔS-i i tille qe si ∈ BRi(θ-i)} Domethene, nese nje strategji si eshte nje pergjigje me e mire ndaj ndonje besimi te mundshem te lojtarit i, atehere si eshte e perfshire ne Bi. Percaktimi i Bi-se eshte shpesh me i veshtire se sa percaktimi i UDi.

Strategjite jane pergjigje me te mira nese dhe vetem nese ato nuk jane plotesisht te dominuara.
Rezultati 1: Ne nje loje te fundme me dy lojtare, B1 = UD1 dhe B2 = UD2

Kyci i analizes ne kete rast ka te beje me ate nese besimi i nje lojtari te dhene mendohet te tregoje korrelacion mes strategjive te kundershtareve te shumte te ketij lojtari. Dikush mund ta perkufizoje Bi ne menyre te tille qe lidhjet korreluese nuk lejohen; me pas, ai mund te marre si versionin ne te cilin korrelimi lejohet.
Rezultati 2: Ne nje loje te fundme, Bi UDi and = UD1
Domethene, nese lojtaret mbajne besime te pakorreluara, atehere strategjite plotesisht te dominuara nuk jane kurre pergjigja me e mire. Nese lojtaret mbajne besime te korreluara, atehere nje strategji dominohet vetem dhe vetem nese ajo eshte nje pergjigje me e mire per disa besime. Kesisoj, qe te gjehet nje set strategjish qe nje lojtar mund te luaje sin je pergjigje racionale ndaj besimeve te tij ju duhet thjesht te gjeni setin e strategjive te padominuara. Meqe korrelimi i besimit te nje lojtari nuk eshte ceshtje kur lojtari ka vetem nje kundershtar, ky eshte vetem nje rast i vecante i ketij rezultati. Ne gjetjen e marrdhenies midis dominances dhe pergjigjes me te mire do te perqendrohemi vetem ne lojrat matricore me dy lojtare.

Llogaritja e Bi = UDi
1. Shiko per strategji qe jane pergjigje me e mire ndaj besimeve te thjeshta—ato besime qe e vendosin te gjithe probabilitetin ne vetem nje nga strategjite e lojtareve te tjere. Kerko pergjigje me te mira jane qartesisht ne setin Bi, pra ato jane edhe ne UDi
2. Shiko per strategji qe dominohen nga strategji te tjera te pastra; keto strategji te dominuara nuk jane ne UDi, pra ato nuk jane edhe ne Bi.
3. Testo cdo strategji qe mbetet nese ajo eshte e dominuar nga nje strategji e perzier. Ky hap perfundimtar eshte me i veshtiri, por rralle do t’u duhet ta perdorni.