WEEK 3
1. Dominance and Best Response
This chapter develops and compares the concepts of dominance and best response. The chapter begins with examples in which a strategy is dominated by another pure strategy, followed by an example of mixed strategy dominance. After the formal definition of dominance, the chapter describes how to check for dominated strategies in any given game. The first strategic tension (the clash between individual and joint interests) is illustrated with reference to the prisoners’ dilemma, and then the notion of efficiency is defined. Next comes the definition of best response and examples. The last section of the chapter contains analysis of the relation between the set of
undominated strategies and the set of strategies that are best responses to some beliefs. An algorithm for calculating these sets is presented.
Lecture Notes
The following may serve as an outline for a lecture.
• Optional introduction: analysis of a game played in class. If a 3×3 dominance solvable game (such as the one suggested in the notes for Chapter 4) was played in class earlier, the game can be quickly analyzed to show the students what is to come.
• A simple example of a strategy dominated by another pure strategy. (Use a 2 × 2 game.)
• An example of a pure strategy dominated by a mixed strategy. (Use a 3 × 2 game.)
• Formal definition of strategy si being dominated. Set of undominated strategies for player i, UDi;
Perkufizim: Nje strategji e paster si e lojtarit i eshte e dominuar nese ka nje strategji (te paster apo te perzier) σ ∈ ΔSi te tille qe ui(σi, s-i) > ui(si, s-1) per te gjitha profilet strategjike s-1 ∈
S-i te lojtareve te tjere.
• Discuss how to search for dominated strategies.
Medodologjia e kerkimit per strategji te dominuara
1. Se pari, kini parasysh se ka shume strategji te ndryshme per t’u kerkuar. Per shembull, ne lojen e bere ne klase, (1/2, 1/2, 0), (3/5, 2/5, 0), (1/3, 1/3, 1/3) jane kater nga nje numer i pafund i startegjive per lojtarin 1. Te katerta e dominojne strategjine D.
2. Se dyti, kur kerkon nje strategji te perzier qe dominon nje strategji te paster shiko per mundesi alternuese te numrave te medhenj e te vegjel ne matricen e utiliteteve. Kjo do t’ju ndihmoje te geni strategjite te cilave mund t’u jepet probabilitet pozitiv nga nje strategji e perzier.
3. Qe te tregohet qe nje strategji eshte e dominuar, mbani ndermend se ju keni nevoje te gjeni vetem nje strategji (te paster apo te perzier) qe e dominon ate. Nese, per shembull, gjeni qe strategjia X eshte e dominuar nga strategjia Y, puna jote e krye; ti nuk ke nevoje te kerkosh per dominim nga strategjite e perziera.
4. Se fundmi, beni kujdes te kontrolloni vetem utilitetet e duhura; kur vleresoni strategjite e lojtarit i, you duhet te shikoni vetem tek utilitetet e lojtarit i dhe te askujt tjeter.
Pabarazia strikte (e plote): ui(σi, s-i) > ui(si, s-i) dhe jo ui(σi, s-i) ≥ ui(si, s-i) Keshtu, qe nje strategji te dominoje nje tjeter, e para duhet te jape me shume se sa jep e dyta. Nje strategji nuk e dominon tjetren nese ato japin te njejtat utilitete ndaj strategjive te lojtareve te tjere: dominim i plote.
Teoria me e pranueshme e sjelljes eshte qe lojtaret nuk luajne teori te dominuara. Sic verejtem me pare, luajtja e nje strategjie te dominuar nuk eshte racionale ne kuptimin qe perfitimet e dikujt mund te rriten duke lujatur nje strategji tjeter, pavaresisht se cfare ben ne loje lojtari tjeter.
• The first strategic tension and the prisoners’ dilemma.
1. Zhvendosim racionalitetin nga fitimi i lirise me cdo kusht tek ruajtja e jetes;
2. E transformojme lojen nga nje loje jo-bashkepunuese ne nje loje bashkepunuese (kontrata);
• Definition of efficiency and an example: s eshte me eficient se s’ nese ui(s) ≥ ui(s’) per cdo lojtar i dhe nese pabarazia eshte e plote per te pakten nje lojtar.
Themi qe s eshte me eficiente se s’ nese te gjithe lojtaret preferojne perfundimet e s ndaj perfundimeve te s’ dhe nese preferenca eshte e plote per te pakten nje lojtar.
Perkufizim: Nje profil strategjish quhet eficient nese nuk ka ndonje profil strategjish qe te jete me eficient, domethene, nuk ka profil tjeter strategjish s’ te tille qe ui(s’) ≥ ui(s) per cdo lojtar i dhe uj(s’) > uj(s) per ndonje lojtar tjeter j. Kjo perkon me shprehjen Pareto Eficient [Pareto efficient].
• Best response examples. (Use simple games such as the Prisoners’ Dilemma, the Battle of the Sexes, Matching Pennies, Coordination Games);
• Formal definition of si being a best response to belief θ-i. Set of best responses for player i, BRi(θ-i). Set of player i’s strategies that can be justified as best responses to some beliefs, Bi.
Perkufizim: Pergjigja me e mire eshte strategjia e zgjedhur e cila, sipas besimit tuaj, jep utilitetet me te medha te priteshme. Supozojme se lojtari i ka nje besim θ-i ∈ ΔS-i rreth nje strategjie te luajtur nga lojtaret e tjere. Strategjia s-i ∈ S-i e lojtarit i eshte pergjigja me e mire nese ui(s, θ-i) ≥ ui(s’, θ-i ) per cdo si’∈ Si .
Mund te kete me shume se nje pergjigje me te mire per nje besim te dhene. Nuk eshte e veshtire te tregohet se, ne nje loje te fundme, cdo besim ka te pakten nje pergjigje me te mire. Per cdo besim θ-i te lojtarit i ne shenojme bashkesine e pergjigjeve me te mira PMM [BR](θ-i).
• Note that forming beliefs is the most important exercise in rational decision
making.
Luajtja e pergjigjes me te mire sipas besimit te dikujt rreth levizjes se te tjereve nuk eshte ne vetvete nje veprim strategjik. Dikush mund ta mendoje ate si thjesht ushtrim llogarites te shoqeruar me racionalitetin. Formimi i besimit eshte perberesja me e rendesishme e nje strategjie. Per shembull, supozoni se po luani lojen e pasqyruar ne figuren 6.3 si lojtar 2 dhe po i diskutoni synimet tuaja me nje shok. Ju mund t’i shpjegoni shokut se, ne baze te njohurive tuaja rreth lojtarit 1, you mendoni se lojtari 1 me siguri do te zgjedhe strategjine B ne loje. Keshtu pra, ju planifikoni te zgjidhni po ashtu B-ne. I zemeruar me qendrimin tuaj, ai ju kritikon ju qe u dorezuat. Ju duhet te kerkoni perfundimin me te mire per veten tende duke luajtur A-ne, thote ai. A duhet ju ta ndiqni keshillen e tij?
Perberesja me thelbesore e sjelljes eshte formimi i besimeve. Ne fakt, ketu qendron edhe mjeshtria e vertete e teorise se lojes. Suksesi ne lojra shpesh varet nese ju e kuptoni kundershtarin tuaj me mire nga sa ju kupton ai juve. Ne shpesh flasim per t’ia hedhur te tjereve. Ne fakt, besimet jane subjekt studimi edhe ato. Shumica e punes tone ne pjesen qe mbetet te ketij kursi ka te beje me percaktimin se cilat besime jane racionale ne lojra. Te pajisur me konceptet e dominimit dhe pergjigjes me te mire, ne mund te vazhdojme te studjojme sjelljen strategjike duke vendosur besimet e lojtareve ne qender te vemendjes.
UDi — bashkesia (seti) e strategjive per lojtarin i qe nuk jane te dominuara plotesisht;
Bi — bashkesia e strategjive per lojtarin i qe jane pergjigjet me te mira sipas te gjitha besimeve te mundeshme te lojtarit i. Matematikisht:
Bi = {si eshte nje besim θ-i ∈ ΔS-i i tille qe si ∈ BRi(θ-i)} Domethene, nese nje strategji si eshte nje pergjigje me e mire ndaj ndonje besimi te mundshem te lojtarit i, atehere si eshte e perfshire ne Bi. Percaktimi i Bi-se eshte shpesh me i veshtire se sa percaktimi i UDi.
Strategjite jane pergjigje me te mira nese dhe vetem nese ato nuk jane plotesisht te dominuara.
Rezultati 1: Ne nje loje te fundme me dy lojtare, B1 = UD1 dhe B2 = UD2
Kyci i analizes ne kete rast ka te beje me ate nese besimi i nje lojtari te dhene mendohet te tregoje korrelacion mes strategjive te kundershtareve te shumte te ketij lojtari. Dikush mund ta perkufizoje Bi ne menyre te tille qe lidhjet korreluese nuk lejohen; me pas, ai mund te marre si versionin ne te cilin korrelimi lejohet.
Rezultati 2: Ne nje loje te fundme, Bi UDi and = UD1
Domethene, nese lojtaret mbajne besime te pakorreluara, atehere strategjite plotesisht te dominuara nuk jane kurre pergjigja me e mire. Nese lojtaret mbajne besime te korreluara, atehere nje strategji dominohet vetem dhe vetem nese ajo eshte nje pergjigje me e mire per disa besime. Kesisoj, qe te gjehet nje set strategjish qe nje lojtar mund te luaje sin je pergjigje racionale ndaj besimeve te tij ju duhet thjesht te gjeni setin e strategjive te padominuara. Meqe korrelimi i besimit te nje lojtari nuk eshte ceshtje kur lojtari ka vetem nje kundershtar, ky eshte vetem nje rast i vecante i ketij rezultati. Ne gjetjen e marrdhenies midis dominances dhe pergjigjes me te mire do te perqendrohemi vetem ne lojrat matricore me dy lojtare.
Llogaritja e Bi = UDi
1. Shiko per strategji qe jane pergjigje me e mire ndaj besimeve te thjeshta—ato besime qe e vendosin te gjithe probabilitetin ne vetem nje nga strategjite e lojtareve te tjere. Kerko pergjigje me te mira jane qartesisht ne setin Bi, pra ato jane edhe ne UDi
2. Shiko per strategji qe dominohen nga strategji te tjera te pastra; keto strategji te dominuara nuk jane ne UDi, pra ato nuk jane edhe ne Bi.
3. Testo cdo strategji qe mbetet nese ajo eshte e dominuar nga nje strategji e perzier. Ky hap perfundimtar eshte me i veshtiri, por rralle do t’u duhet ta perdorni.
Tuesday, November 11, 2008
WEEK 2
1. Introduction
This chapter introduces the concept of a game and encourages the reader to begin thinking about the formal analysis of strategic situations. The chapter contains a short history of game theory, followed by a description of “non-cooperative theory” (which the book emphasizes), a discussion of the notion of contract and the related use of “cooperative theory,” and comments on the science and art of applied theoretical work. The chapter explains that the word “game” should be associated with any well-defined strategic situation, not just adversarial contests. Finally, the format and style of the book are described.
Lecture Notes
The non-administrative segment of a first lecture in game theory may run as follows.
• Definition of strategic situation.
Interdependence—Ndervartesi: sjellja e nje personi ndikon ose pozitivisht ose negativisht ne mbarevajtjen e puneve te nje personi tjeter;
Strategic setting—Situate strategjike: Situatat a ndervartesise quhen situate strategjike sepse qe nje person te vendose se cila eshte levizja e tij me e mire, ai duhet te marre parasysh se si te tjeret perreth tij do te zgjedhin levizjet e tyre;
Theory of strategic interaction—Teori e nderveprimit strategjik: duhet per shkak se, se pari, identifikon gjuhen ne mund te bisedojme dhe shkembejme ide rreth sjelljes njerezore; se dyti, na jep nje kornize qe na udhezon te ndertojme modele te situatave strategjike; se treti, na ndihmon te gjurmojme implikimet logjike te pandehmave rreth sjelljes;
Individual actions—Veprime individuale: jane ato veprime qe individed I vendosin vete, pavaresisht nga personat e tjere qe ndodhen ne ate situate strategjike;
Noncooperative game—Loje jobashkepunuese: eshte loje e luajtur nga aktore qe ndermarrin veprime individuale ne nje situate strategjike;
Join action—veprim i perbashket: keshtu quhen perfundimet e tratativave;
Cooperative game—Loje bashkepunuese: keshtu quhen lojrat ne te cilat individed qe ndodhen ne nje situate strategjike ndermarrin veprime te perbashketa; lojrat bashkepunuese perdoren per te studjuar marrdheniet kontraktuale;
• Examples (have students suggest some): chess, poker, and other parlor games; tennis, football, and other sports; firm competition, international trade, firm/employee relations, and other economic examples; biological competition; elections; and so on.
• Competition and cooperation are both strategic topics. Game theory is a general methodology for studying strategic settings (which may have elements of both competition and cooperation).
• The elements of a formal game representation.
• A few simple examples of the extensive form representation (point out the basic components).
2. The Extensive Form
This chapter introduces the basic components of the extensive form in a non-technical way. Students who learn about the extensive form at the beginning of a course are much better able to grasp the concept of a strategy than are students who are taught the normal form first. Since strategy is perhaps the most important concept in game theory, a good understanding of this concept makes a dramatic difference in each student’s ability to progress. The chapter avoids the technical details of the extensive form representation in favor of emphasizing the basic components of games. The technical details are covered in Chapter 14.
Lecture Notes
The following may serve as an outline for a lecture.
• Basic components of the extensive form: nodes, branches.
Nodes—Nyjet: nyjet jane vendet ku veprohet;
Branches—Deget: jane veprimet individuale te ndermarra nga lojtaret;
• Example of a game tree.
• Types of nodes:
Initial node—Nyje fillestare: jane nyjet ku fillon loja;
Terminal nodes—Nyje perfundimtare: jane nyjet qe perfaqesojne fundin e lojes;
Decision nodes—Nyje te vendimeve: jane nyjet ku merren vendime;
• Build trees by expanding, never converging back on themselves. At any place in a tree, you should always know exactly how you got there. Thus, the tree summarizes the strategic possibilities.
• Player and action labels. Try not to use the same label for different places where decisions are made.
• Information sets—Sete informacioni: jane vendet ku merren vendimet; nje set informacioni perbehet nga nje ose disa nyje vendimesh; ajo pershkruan se cilat nyje vendimesh lidhen me njera tjetren me nje vije te nderprere (cka do te thote qe nje lojtar nuk dallon dot mes tyre);
Start by describing the tree as a diagram that an external observer creates to map out the possible sequences of decisions. Assume the external observer sees all of the players’ actions. Then describe what it means for a player to not know what another player did. This is captured by dashed lines indicating that a player cannot distinguish between two or more nodes.
• We assume that the players know the game tree, but that a given player may not know where he is in the game when he must make any particular decision.
Payoff/utilities—utilitetet: preferencat e lojtareve per perfundimet e lojes;
Simultaneous moves—levizjet e njekoheshme: jane levizjet qe lojtaret ndermarrin njekohesisht dhe ne te cilat ata nuk e dijne ne cilin pozicion ndodhen ndaj levizjes se kundershatrit;
3. Strategies
As noted already, introducing the extensive form representation at the beginning of a course helps the students appreciate the notion of a strategy. A student that does not understand the concept of a “complete contingent plan” will fail to grasp the sophisticated logic of dynamic rationality that is so critical to much of game theory. Chapter 3 starts with the formal definition of strategy, which is then illustrated with some examples. The critical point is that strategies are more than just “plans.” A strategy prescribes an action at every information set, even those that would not be reached because of actions taken at other information sets.
Lecture Notes
The following may serve as an outline for a lecture.
• Formal definition of strategy.
Strategy—strategjia: strategjia eshte nje plan i plote i kushtezuar per nje lojtar ne loje; strategjia e nje lojtari pershkruan ate se cka ai do te beje ne seicilin nga setet e tij te informacionit;
“Nje plan i plote i kushtezuar” do te thote nje specifikim i plote i sjelljes se nje lojtari, pra pershkrimi i veprimeve qe lojtari do te ndermarre ne seicilen nga pikat e tij te vendimit.
• Examples of strategies.
• Notation: strategy space Si, individual strategy si ∈ Si. Example: Si = {H, L} and si = H. Strategy space/strategy set—Hapesira e strategjise/Seti i strategjise: pemban cdo strategji te mundeshme te nje lojtari ne nje loje;
• Refer to Appendix A for more on sets.
• Strategy profile: s ∈ S, where S = S1 × S2 × ·· ·×Sn (product set).
Strategy profile—Profili i strategjise: eshte nje vektor i strategjive, nje per cdo lojtar; profili i strategjise pershkruan strategjite e te gjithe lojtareve ne loje;
• Notation: i and −i, s = (si, s−i).
• Discuss how finite and infinite strategy spaces can be described.
• Why we need to keep track of a complete contingent plan: (1) It allows the analysis of games from any information set, (2) it facilitates exploring how a player responds to his belief about what the other players will do, and (3) it prescribes a contingency plan if a player makes a mistake.
4. The Normal Form
Building on the definition of strategy in Chapter 3, Chapter 4 describes how each strategy profile leads to a single terminal node (an outcome), via a path through the tree. This leads to the definition of a payoff function. The chapter then defines the normal form representation as comprising a set of players, strategy spaces for the players, and payoff functions. The matrix form, for two-player, finite games, is illustrated. The chapter then briefly describes seven classic normal form games. The chapter concludes with a few comments on the comparison between the normal and extensive forms.
Lecture Notes
The following may serve as an outline for a lecture.
• Describe how a strategy implies a path through the tree, leading to a terminal node and payoff vector.
• Examples of strategies and implied payoffs.
• Definition of payoff function, ui : S → R, ui(s). Refer to Appendix A for more
on functions: Per cdo lojtar i, ne mund te percaktojme nje funksion ui : S → R (nje funksion domeini i te cilit eshte seti i profileve te strategjive dhe rrezja e te cilit jane numrat reale) ne menyre te tille qe, per cdo profil strategjik s ∈ S qe lojtari zgjedh, ui(s) eshte perfitimi i lojtarit i nga loja. Funksioni ui quhet funksioni perfitues i lojtarit i.
• Example: a matrix representation of players, strategies, and payoffs. (Use any abstract game, such as the centipede game.)
• Formal definition of the normal form: Nje loje ne formen normale (quhet gjithashtu edhe forma strategjike) konsiston ne nje set lojtaresh, {1, 2, …, n}, haperiren strategjike te lojtareve, S1, S2,….Sn, dhe funksionet perfituese per lojtaret u1, u2, … un. Keto lojra mund te shprehen me matrica dhe quhen edhe lojra matricore.
• Note: The matrix representation is possible only for two-player, finite games.
Otherwise, the game must be described by sets and equations.
• The classic normal form games and some stories. Note the different strategic
issues represented: conflict, competition, coordination, cooperation.
• Comparing the normal and extensive forms (translating one to the other).
• Discussion of the art and science of game theoretic work. A game theory model helps us organize our thoughts and isolate components of a strategic situation. The key to application: find the simplest model that can yield insight.
5. Beliefs, Mixed Strategies, and Expected Utility
This chapter describes how a belief that a player has about another player’s behavior is represented as a probability distribution. It then covers the idea of a mixed strategy, which is a similar probability distribution. The appropriate notation is defined. The chapter defines expected payoff and gives some examples of how to compute it. At the end of the chapter, there are a few comments about cardinal versus ordinal utility (although it is not put in this language) and about how payoff numbers reflect preferences over uncertain outcomes. Risk preferences are discussed in Chapter 25.
Lecture Notes
The following may serve as an outline for a lecture.
• Shembull: Ne Dilemen e te Burgosurit, lojtari 1 mund te mendoje qe lojtari 2 eshte shume e mundur te luaje strategjine C. Besimi qe lojtari 1 ka qe lojtari dy do te luaje strategjine C shprehet me shifren probabilistike p. Probabiliteti qe lojtari 1 beson se lojtari 2 nuk do do te luaje strategjine C eshte p = 0. Athere, lojtari 1 beson se lojtari 2 do te luaje strategjine D eshte
1 - p. Numrat p dhe 1 - p perbejne nje shperndarje probabilistike mbi setin {C, D}.
Perkufizim: Matematikisht, besimi i lojtarit i eshte nje shperndarje probabilistike mbi strategjite e lojtareve te tjere. Ne e shenojme ate me θ-i ∈ ΔS-i ku ΔS-i eshte seti i shperndarjes probabilistike mbi strategjite e te gjithe lojtareve me perjashtim te lojtarit i.
• Translate into probability numbers.
• Other examples of probabilities.
• Verejtje: Besimi i lojtarit i rreth sjelljes se lojtarit j eshte nje funksion θ j ∈ ΔSj i tille qe, per cdo strategji sj ∈ Sj te lojtarit j, θ j(sj) interpretohet si probabiliteti qe lojtari i mendon qe lojtari j do te luaje sj. Si shperndarje probabilistike, θ j ∈ [0, 1], per cdo sj ∈ Sj , dhe Σsj∈Sj θ j(sj) = 1.
• Examples and alternative ways of denoting a probability distribution: for Sj = {L,R} and θ j ∈ Δ{L,R} defined by θ j(L) = 1/3 and θ j(R) = 2/3, we can write θ j = (1/3, 2/3).
• Mixed strategy. Notation: σi ∈ ΔSi.
Perkufizim: Nje strategji e perzier per nje lojtar eshte akti i perzgjedhjes se nje strategjie sipas nje shperndarje probabilistike. Per te shmangur konfuzionin, ndonjehere ne i quajme strategjite e rregullta strategji te pastra [pure strategy] per ti dalluar ato nga strategjite e perziera. Nje set strategjish te perziera perfshin setin e strategjive te pastra, seicila prej te cilave eshte nje strategji e perzier qe mbart ne vetvete te gjithe probabilitetin.
• Refer to Appendix A for more on probability distributions.
• Definition of expected value: Kur lojtari i ka besimin θ-i rreth strategjive te te tjereve dhe planifikon te zgjedhe strategjine si, atehere perfitimi i priteshem eshte perfitimi mesatar qe do te merret nese ai do te luante strategjine si dhe te tjeret do te luanin sipas θ-i.
ui(si, θ-i) = Σθ-i(s-i)ui(si, s-i)
• Examples: computing expected payoffs.• Briefly discuss how payoff numbers represent preferences over random outcomes, risk. Defer elaboration until later.
1. Introduction
This chapter introduces the concept of a game and encourages the reader to begin thinking about the formal analysis of strategic situations. The chapter contains a short history of game theory, followed by a description of “non-cooperative theory” (which the book emphasizes), a discussion of the notion of contract and the related use of “cooperative theory,” and comments on the science and art of applied theoretical work. The chapter explains that the word “game” should be associated with any well-defined strategic situation, not just adversarial contests. Finally, the format and style of the book are described.
Lecture Notes
The non-administrative segment of a first lecture in game theory may run as follows.
• Definition of strategic situation.
Interdependence—Ndervartesi: sjellja e nje personi ndikon ose pozitivisht ose negativisht ne mbarevajtjen e puneve te nje personi tjeter;
Strategic setting—Situate strategjike: Situatat a ndervartesise quhen situate strategjike sepse qe nje person te vendose se cila eshte levizja e tij me e mire, ai duhet te marre parasysh se si te tjeret perreth tij do te zgjedhin levizjet e tyre;
Theory of strategic interaction—Teori e nderveprimit strategjik: duhet per shkak se, se pari, identifikon gjuhen ne mund te bisedojme dhe shkembejme ide rreth sjelljes njerezore; se dyti, na jep nje kornize qe na udhezon te ndertojme modele te situatave strategjike; se treti, na ndihmon te gjurmojme implikimet logjike te pandehmave rreth sjelljes;
Individual actions—Veprime individuale: jane ato veprime qe individed I vendosin vete, pavaresisht nga personat e tjere qe ndodhen ne ate situate strategjike;
Noncooperative game—Loje jobashkepunuese: eshte loje e luajtur nga aktore qe ndermarrin veprime individuale ne nje situate strategjike;
Join action—veprim i perbashket: keshtu quhen perfundimet e tratativave;
Cooperative game—Loje bashkepunuese: keshtu quhen lojrat ne te cilat individed qe ndodhen ne nje situate strategjike ndermarrin veprime te perbashketa; lojrat bashkepunuese perdoren per te studjuar marrdheniet kontraktuale;
• Examples (have students suggest some): chess, poker, and other parlor games; tennis, football, and other sports; firm competition, international trade, firm/employee relations, and other economic examples; biological competition; elections; and so on.
• Competition and cooperation are both strategic topics. Game theory is a general methodology for studying strategic settings (which may have elements of both competition and cooperation).
• The elements of a formal game representation.
• A few simple examples of the extensive form representation (point out the basic components).
2. The Extensive Form
This chapter introduces the basic components of the extensive form in a non-technical way. Students who learn about the extensive form at the beginning of a course are much better able to grasp the concept of a strategy than are students who are taught the normal form first. Since strategy is perhaps the most important concept in game theory, a good understanding of this concept makes a dramatic difference in each student’s ability to progress. The chapter avoids the technical details of the extensive form representation in favor of emphasizing the basic components of games. The technical details are covered in Chapter 14.
Lecture Notes
The following may serve as an outline for a lecture.
• Basic components of the extensive form: nodes, branches.
Nodes—Nyjet: nyjet jane vendet ku veprohet;
Branches—Deget: jane veprimet individuale te ndermarra nga lojtaret;
• Example of a game tree.
• Types of nodes:
Initial node—Nyje fillestare: jane nyjet ku fillon loja;
Terminal nodes—Nyje perfundimtare: jane nyjet qe perfaqesojne fundin e lojes;
Decision nodes—Nyje te vendimeve: jane nyjet ku merren vendime;
• Build trees by expanding, never converging back on themselves. At any place in a tree, you should always know exactly how you got there. Thus, the tree summarizes the strategic possibilities.
• Player and action labels. Try not to use the same label for different places where decisions are made.
• Information sets—Sete informacioni: jane vendet ku merren vendimet; nje set informacioni perbehet nga nje ose disa nyje vendimesh; ajo pershkruan se cilat nyje vendimesh lidhen me njera tjetren me nje vije te nderprere (cka do te thote qe nje lojtar nuk dallon dot mes tyre);
Start by describing the tree as a diagram that an external observer creates to map out the possible sequences of decisions. Assume the external observer sees all of the players’ actions. Then describe what it means for a player to not know what another player did. This is captured by dashed lines indicating that a player cannot distinguish between two or more nodes.
• We assume that the players know the game tree, but that a given player may not know where he is in the game when he must make any particular decision.
Payoff/utilities—utilitetet: preferencat e lojtareve per perfundimet e lojes;
Simultaneous moves—levizjet e njekoheshme: jane levizjet qe lojtaret ndermarrin njekohesisht dhe ne te cilat ata nuk e dijne ne cilin pozicion ndodhen ndaj levizjes se kundershatrit;
3. Strategies
As noted already, introducing the extensive form representation at the beginning of a course helps the students appreciate the notion of a strategy. A student that does not understand the concept of a “complete contingent plan” will fail to grasp the sophisticated logic of dynamic rationality that is so critical to much of game theory. Chapter 3 starts with the formal definition of strategy, which is then illustrated with some examples. The critical point is that strategies are more than just “plans.” A strategy prescribes an action at every information set, even those that would not be reached because of actions taken at other information sets.
Lecture Notes
The following may serve as an outline for a lecture.
• Formal definition of strategy.
Strategy—strategjia: strategjia eshte nje plan i plote i kushtezuar per nje lojtar ne loje; strategjia e nje lojtari pershkruan ate se cka ai do te beje ne seicilin nga setet e tij te informacionit;
“Nje plan i plote i kushtezuar” do te thote nje specifikim i plote i sjelljes se nje lojtari, pra pershkrimi i veprimeve qe lojtari do te ndermarre ne seicilen nga pikat e tij te vendimit.
• Examples of strategies.
• Notation: strategy space Si, individual strategy si ∈ Si. Example: Si = {H, L} and si = H. Strategy space/strategy set—Hapesira e strategjise/Seti i strategjise: pemban cdo strategji te mundeshme te nje lojtari ne nje loje;
• Refer to Appendix A for more on sets.
• Strategy profile: s ∈ S, where S = S1 × S2 × ·· ·×Sn (product set).
Strategy profile—Profili i strategjise: eshte nje vektor i strategjive, nje per cdo lojtar; profili i strategjise pershkruan strategjite e te gjithe lojtareve ne loje;
• Notation: i and −i, s = (si, s−i).
• Discuss how finite and infinite strategy spaces can be described.
• Why we need to keep track of a complete contingent plan: (1) It allows the analysis of games from any information set, (2) it facilitates exploring how a player responds to his belief about what the other players will do, and (3) it prescribes a contingency plan if a player makes a mistake.
4. The Normal Form
Building on the definition of strategy in Chapter 3, Chapter 4 describes how each strategy profile leads to a single terminal node (an outcome), via a path through the tree. This leads to the definition of a payoff function. The chapter then defines the normal form representation as comprising a set of players, strategy spaces for the players, and payoff functions. The matrix form, for two-player, finite games, is illustrated. The chapter then briefly describes seven classic normal form games. The chapter concludes with a few comments on the comparison between the normal and extensive forms.
Lecture Notes
The following may serve as an outline for a lecture.
• Describe how a strategy implies a path through the tree, leading to a terminal node and payoff vector.
• Examples of strategies and implied payoffs.
• Definition of payoff function, ui : S → R, ui(s). Refer to Appendix A for more
on functions: Per cdo lojtar i, ne mund te percaktojme nje funksion ui : S → R (nje funksion domeini i te cilit eshte seti i profileve te strategjive dhe rrezja e te cilit jane numrat reale) ne menyre te tille qe, per cdo profil strategjik s ∈ S qe lojtari zgjedh, ui(s) eshte perfitimi i lojtarit i nga loja. Funksioni ui quhet funksioni perfitues i lojtarit i.
• Example: a matrix representation of players, strategies, and payoffs. (Use any abstract game, such as the centipede game.)
• Formal definition of the normal form: Nje loje ne formen normale (quhet gjithashtu edhe forma strategjike) konsiston ne nje set lojtaresh, {1, 2, …, n}, haperiren strategjike te lojtareve, S1, S2,….Sn, dhe funksionet perfituese per lojtaret u1, u2, … un. Keto lojra mund te shprehen me matrica dhe quhen edhe lojra matricore.
• Note: The matrix representation is possible only for two-player, finite games.
Otherwise, the game must be described by sets and equations.
• The classic normal form games and some stories. Note the different strategic
issues represented: conflict, competition, coordination, cooperation.
• Comparing the normal and extensive forms (translating one to the other).
• Discussion of the art and science of game theoretic work. A game theory model helps us organize our thoughts and isolate components of a strategic situation. The key to application: find the simplest model that can yield insight.
5. Beliefs, Mixed Strategies, and Expected Utility
This chapter describes how a belief that a player has about another player’s behavior is represented as a probability distribution. It then covers the idea of a mixed strategy, which is a similar probability distribution. The appropriate notation is defined. The chapter defines expected payoff and gives some examples of how to compute it. At the end of the chapter, there are a few comments about cardinal versus ordinal utility (although it is not put in this language) and about how payoff numbers reflect preferences over uncertain outcomes. Risk preferences are discussed in Chapter 25.
Lecture Notes
The following may serve as an outline for a lecture.
• Shembull: Ne Dilemen e te Burgosurit, lojtari 1 mund te mendoje qe lojtari 2 eshte shume e mundur te luaje strategjine C. Besimi qe lojtari 1 ka qe lojtari dy do te luaje strategjine C shprehet me shifren probabilistike p. Probabiliteti qe lojtari 1 beson se lojtari 2 nuk do do te luaje strategjine C eshte p = 0. Athere, lojtari 1 beson se lojtari 2 do te luaje strategjine D eshte
1 - p. Numrat p dhe 1 - p perbejne nje shperndarje probabilistike mbi setin {C, D}.
Perkufizim: Matematikisht, besimi i lojtarit i eshte nje shperndarje probabilistike mbi strategjite e lojtareve te tjere. Ne e shenojme ate me θ-i ∈ ΔS-i ku ΔS-i eshte seti i shperndarjes probabilistike mbi strategjite e te gjithe lojtareve me perjashtim te lojtarit i.
• Translate into probability numbers.
• Other examples of probabilities.
• Verejtje: Besimi i lojtarit i rreth sjelljes se lojtarit j eshte nje funksion θ j ∈ ΔSj i tille qe, per cdo strategji sj ∈ Sj te lojtarit j, θ j(sj) interpretohet si probabiliteti qe lojtari i mendon qe lojtari j do te luaje sj. Si shperndarje probabilistike, θ j ∈ [0, 1], per cdo sj ∈ Sj , dhe Σsj∈Sj θ j(sj) = 1.
• Examples and alternative ways of denoting a probability distribution: for Sj = {L,R} and θ j ∈ Δ{L,R} defined by θ j(L) = 1/3 and θ j(R) = 2/3, we can write θ j = (1/3, 2/3).
• Mixed strategy. Notation: σi ∈ ΔSi.
Perkufizim: Nje strategji e perzier per nje lojtar eshte akti i perzgjedhjes se nje strategjie sipas nje shperndarje probabilistike. Per te shmangur konfuzionin, ndonjehere ne i quajme strategjite e rregullta strategji te pastra [pure strategy] per ti dalluar ato nga strategjite e perziera. Nje set strategjish te perziera perfshin setin e strategjive te pastra, seicila prej te cilave eshte nje strategji e perzier qe mbart ne vetvete te gjithe probabilitetin.
• Refer to Appendix A for more on probability distributions.
• Definition of expected value: Kur lojtari i ka besimin θ-i rreth strategjive te te tjereve dhe planifikon te zgjedhe strategjine si, atehere perfitimi i priteshem eshte perfitimi mesatar qe do te merret nese ai do te luante strategjine si dhe te tjeret do te luanin sipas θ-i.
ui(si, θ-i) = Σθ-i(s-i)ui(si, s-i)
• Examples: computing expected payoffs.• Briefly discuss how payoff numbers represent preferences over random outcomes, risk. Defer elaboration until later.
SYLLABUS
Universiteti i Tiranes
Universiteti Ismail Qemali Vlore
Semestri I 2008-2009
Hyrje ne Teori Loje
Syllabus
Pedagog: Ridvan Peshkopia, ABD
Email: ridvanpeshkopia@yahoo.com
Cel.: 0693295270
Takimi: Me njoftim
Teoria Loje eshte nje fushe kerkimore ne rritje me aplikime te gjera ne shkencat ekonomike, politike e sociale, biologjike e se fundi mjedisore. Synimi i kesaj fushe studimore eshte pergatitja e pritshmerise sone per veprimet e mundeshme te individeve ne rrethana te caktuara nen disa pandehma te caktuara. Synimi i ketij kursi eshte te familjarizoje studentet e shkencave sociale me konceptet baze te teorive loje dhe modeleve formale. Ndonese teksti qe do te perdoret ka kater pjese, vemendja do te perqendrohet ne pjesen e dyte dhe te trete dhe me pak kohe do t’i kushtohet nocioneve fillestare te permbledhura ne pjesen e pare dhe aplikimeve te permbledhura ne pjesen e katert.
Detyrimet e Pedagogut: Pedagogu eshte i detyruar te paraqitet ne klase ne oren e caktuar, te kete pregatitur klasen e rradhes, te sigurohet qe pjesmarrja e studenteve ne klase eshte e plote dhe e rregullt, te kete te pergatitur materialin qe do te diskutohet ne ate leksion, te degjoje pyetjet e studenteve, t’u pergjigjet atyre ne maksimumin e tij te mundshem dhe te beje studime shtese per t’ju pergjigjur me vone pyetjeve te cilave nuk ka gjene ne gjendje t’u pergjigjet ne cast. Menyra e zevendesimit te oreve te humbura per arsye te ndryshme do te negociohet me studentet dhe drejtuesit e Departamentit.
Detyrimet e Studentit: Studenti eshte i detyruar te paraqitet ne cdo ore mesimi. Studenti qe humb me shume se kater leksione do te mbetet per ate lende dhe do t’a perserise edhe nje here ate vitin qe vjen. Pritet qe ai ta kete lexuar paraprakisht materialin qe do te studiohet ate leksion dhe te beje pyetje per paqartesite qe i jane paraqitur gjate procesit pergatitor. Eshte e tepert te thuhet qe studimi eshte detyrimi kryesor i studentit; tek e fundit, kjo eshte edhe asyeja per te cilen ai eshte ne shkolle. Kjo klase do te synoje te nxise studimin proaktiv, reaktiv dhe interaktiv, domethene, lexoni perpara se te vini ne klase, lexoni pas leksionit, merrni pjese ne diskutimet ne klase.
Vemendje! Ka vetem nje mundesi per te arritur sukses ne kete klase dhe kjo mundesi eshte studimi. Cdo perpjekje tjeter e drejtperdrejte apo e ndermjetme do te injorohet kur eshte e pademshme ose do t’i nenshtrohet rregullores se Universitetit apo ligjeve te shtetit kur perben shkeljet perkatese.
Teksti: Joel Watson. Strategy: An Introduction to Game Theory, 2nd Edition. New York and London: W. W. Norton & Company, 2008.
Testimi: Do te kete dy provime klase: njeri do te jete javen e tete te semstrit, tjetri do te jete javen e pesembedhjete. Formati dhe menyra e vleresimit te te dy provimeve dhe te jete e njejte. Provimet do te perfshijne pyetje teorike dhe ushtrime. Studentet nuk do te lejohen te komunikojne me njeri-tjetrin gjate provimit.
Shumicen e javeve do te kete detyra shtepie, gjithsej 10, te cilat do te vleresohen dhe do te ndikojne ne noten perfundimtare.
Vleresimi: Vleresimi do te behet me pike, dhjete nga te cilat i perkasin nje note. Studenti fillon me 40 pike qe i perkasin notes 4. Seicili nga provimet do te jete nga 20 pike. Do te kete 10 detyra shtepie me nje vleresim 0-2 pike seicila. Ne fund, student mund te arrije nje vleresim ne haperiren 0-20, ku 20 i korespondon 2 notave te sistemit 0-10.
Kopjimi dhe plagjarizmi: Kopjimi dhe plagjarizmi jane vjedhje dhe mashtrim dhe do te ndershkohen si te tille.
PROGRAMI
Java e dyte
Leksioni: Hyrje; Forma Extensive; Strategjite dhe Format Normale; Besimet, Strategjite e Perziera dhe Shpreblesat e Priteshme; Pandehma te Pergjitheshme dhe Metodologji
Kapitujt 1, 2, 3, 4 dhe 5
Seminari: Ushtrime
Java e trete
Leksioni: Dominimi dhe Pergjigja me e Mire
Kapitulli 6
Seminari: Ushtrime
Merrni detyren e pare te shtepise
Java a katert
Leksioni: Racionalizueshmeria dhe Dominanca e Perseritur; Vendndodhja dhe Partneriteti[i]
Kapitujt 7 dhe 8
Seminari: Ushtrime
Merrni detyren e dyte te shtepise
Java e peste
Leksioni: Ekuilibri Nash
Kapitulli 9
Seminari: Ushtrime
Merrni detyren e trete te shtepise
Java e gjashte
Leksioni: Oligopolia, Tarifat, Krimi dhe Votimi; Ekuilibri Nash me Strategji te Perziera
Kapitujt 10 dhe 11
Seminari: Ushtrime
Merrni detyren e katert te shtepise
Java e shtate
Leksioni: Lojrat Krejtesisht Kompetitive dhe Strategjite e Sigurimit; Kontrata, Ligji dhe Detyrimi ne Situata Strategjike
Kapitujt 12 dhe 13
Seminari: Ushtrime
Merrni detyren e peste te shtepise
Java e tete
Leksioni: Detaje te Formes Ekstensive; Induktimi Prapakthehu dhe Persosmeria e Nenlojes
Kapitujt 14 dhe 15
Seminari: Ushtrime
Java e nente
Leksioni: Ceshtje te Organizimit ne Industri; Lojra dyqani
Kapitulli 16
Seminari: Ushtrime
Merrni detyren e gjashte te shtepise
Java e dhjete
Leksioni: Probleme te Tratativave; Analiza e Lojrave te Thjeshta te Tratativave
Kapitujt 18 dhe 19
Seminari: Ushtrime
Merrni detyren e shtate te shtepise
Java e njembedhjete
Leksioni: Lojra me Vendime te Perbashketa—Ekuilibri i Negociatave; Investimet e Paverifikueshme, Vonesa, Opsionet dhe Pronesia
Kapitujt 20 dhe 21
Seminari: Ushtrime
Merrni detyren e tete te shtepise
Java e dymbedhjete
Leksioni: Lojra te Perseritura dhe Reputacioni; Perplasje, Marreveshje Tregetare dhe Deshira e Mire
Kapitujt 22 dhe 23
Seminari: Ushtrime
Merrni detyren e nente te shtepise
Java e trembedhjete
Leksioni: Ngjarja e Rastesishme dhe Informacioni i Paplote; Risku dhe Nxitja ne Kontaktim
Kapitujt 24 dhe 25
Seminari: Ushtrime
Merrni detyren e dhjete te shtepise
Java e katermbedhjete
Leksioni: Ekuilibri Nash Baisian dhe Racionalizueshmeria; Limonat, Ankandi, dhe Agregimi i Informacionit
Kapitujt 26 dhe 27
Seminari: Ushtrime
Java e pesembedhjete
Leksioni: Ekuilibri Baisian i Persosur; Sinjalizimi per Tregun e Punes dhe Reputacioni
Kapitujt 28 dhe 29
Seminari: Ushtrime
[i] Ceshtjet e shenuara me shkronja korsive jane aplikime.
Universiteti i Tiranes
Universiteti Ismail Qemali Vlore
Semestri I 2008-2009
Hyrje ne Teori Loje
Syllabus
Pedagog: Ridvan Peshkopia, ABD
Email: ridvanpeshkopia@yahoo.com
Cel.: 0693295270
Takimi: Me njoftim
Teoria Loje eshte nje fushe kerkimore ne rritje me aplikime te gjera ne shkencat ekonomike, politike e sociale, biologjike e se fundi mjedisore. Synimi i kesaj fushe studimore eshte pergatitja e pritshmerise sone per veprimet e mundeshme te individeve ne rrethana te caktuara nen disa pandehma te caktuara. Synimi i ketij kursi eshte te familjarizoje studentet e shkencave sociale me konceptet baze te teorive loje dhe modeleve formale. Ndonese teksti qe do te perdoret ka kater pjese, vemendja do te perqendrohet ne pjesen e dyte dhe te trete dhe me pak kohe do t’i kushtohet nocioneve fillestare te permbledhura ne pjesen e pare dhe aplikimeve te permbledhura ne pjesen e katert.
Detyrimet e Pedagogut: Pedagogu eshte i detyruar te paraqitet ne klase ne oren e caktuar, te kete pregatitur klasen e rradhes, te sigurohet qe pjesmarrja e studenteve ne klase eshte e plote dhe e rregullt, te kete te pergatitur materialin qe do te diskutohet ne ate leksion, te degjoje pyetjet e studenteve, t’u pergjigjet atyre ne maksimumin e tij te mundshem dhe te beje studime shtese per t’ju pergjigjur me vone pyetjeve te cilave nuk ka gjene ne gjendje t’u pergjigjet ne cast. Menyra e zevendesimit te oreve te humbura per arsye te ndryshme do te negociohet me studentet dhe drejtuesit e Departamentit.
Detyrimet e Studentit: Studenti eshte i detyruar te paraqitet ne cdo ore mesimi. Studenti qe humb me shume se kater leksione do te mbetet per ate lende dhe do t’a perserise edhe nje here ate vitin qe vjen. Pritet qe ai ta kete lexuar paraprakisht materialin qe do te studiohet ate leksion dhe te beje pyetje per paqartesite qe i jane paraqitur gjate procesit pergatitor. Eshte e tepert te thuhet qe studimi eshte detyrimi kryesor i studentit; tek e fundit, kjo eshte edhe asyeja per te cilen ai eshte ne shkolle. Kjo klase do te synoje te nxise studimin proaktiv, reaktiv dhe interaktiv, domethene, lexoni perpara se te vini ne klase, lexoni pas leksionit, merrni pjese ne diskutimet ne klase.
Vemendje! Ka vetem nje mundesi per te arritur sukses ne kete klase dhe kjo mundesi eshte studimi. Cdo perpjekje tjeter e drejtperdrejte apo e ndermjetme do te injorohet kur eshte e pademshme ose do t’i nenshtrohet rregullores se Universitetit apo ligjeve te shtetit kur perben shkeljet perkatese.
Teksti: Joel Watson. Strategy: An Introduction to Game Theory, 2nd Edition. New York and London: W. W. Norton & Company, 2008.
Testimi: Do te kete dy provime klase: njeri do te jete javen e tete te semstrit, tjetri do te jete javen e pesembedhjete. Formati dhe menyra e vleresimit te te dy provimeve dhe te jete e njejte. Provimet do te perfshijne pyetje teorike dhe ushtrime. Studentet nuk do te lejohen te komunikojne me njeri-tjetrin gjate provimit.
Shumicen e javeve do te kete detyra shtepie, gjithsej 10, te cilat do te vleresohen dhe do te ndikojne ne noten perfundimtare.
Vleresimi: Vleresimi do te behet me pike, dhjete nga te cilat i perkasin nje note. Studenti fillon me 40 pike qe i perkasin notes 4. Seicili nga provimet do te jete nga 20 pike. Do te kete 10 detyra shtepie me nje vleresim 0-2 pike seicila. Ne fund, student mund te arrije nje vleresim ne haperiren 0-20, ku 20 i korespondon 2 notave te sistemit 0-10.
Kopjimi dhe plagjarizmi: Kopjimi dhe plagjarizmi jane vjedhje dhe mashtrim dhe do te ndershkohen si te tille.
PROGRAMI
Java e dyte
Leksioni: Hyrje; Forma Extensive; Strategjite dhe Format Normale; Besimet, Strategjite e Perziera dhe Shpreblesat e Priteshme; Pandehma te Pergjitheshme dhe Metodologji
Kapitujt 1, 2, 3, 4 dhe 5
Seminari: Ushtrime
Java e trete
Leksioni: Dominimi dhe Pergjigja me e Mire
Kapitulli 6
Seminari: Ushtrime
Merrni detyren e pare te shtepise
Java a katert
Leksioni: Racionalizueshmeria dhe Dominanca e Perseritur; Vendndodhja dhe Partneriteti[i]
Kapitujt 7 dhe 8
Seminari: Ushtrime
Merrni detyren e dyte te shtepise
Java e peste
Leksioni: Ekuilibri Nash
Kapitulli 9
Seminari: Ushtrime
Merrni detyren e trete te shtepise
Java e gjashte
Leksioni: Oligopolia, Tarifat, Krimi dhe Votimi; Ekuilibri Nash me Strategji te Perziera
Kapitujt 10 dhe 11
Seminari: Ushtrime
Merrni detyren e katert te shtepise
Java e shtate
Leksioni: Lojrat Krejtesisht Kompetitive dhe Strategjite e Sigurimit; Kontrata, Ligji dhe Detyrimi ne Situata Strategjike
Kapitujt 12 dhe 13
Seminari: Ushtrime
Merrni detyren e peste te shtepise
Java e tete
Leksioni: Detaje te Formes Ekstensive; Induktimi Prapakthehu dhe Persosmeria e Nenlojes
Kapitujt 14 dhe 15
Seminari: Ushtrime
Java e nente
Leksioni: Ceshtje te Organizimit ne Industri; Lojra dyqani
Kapitulli 16
Seminari: Ushtrime
Merrni detyren e gjashte te shtepise
Java e dhjete
Leksioni: Probleme te Tratativave; Analiza e Lojrave te Thjeshta te Tratativave
Kapitujt 18 dhe 19
Seminari: Ushtrime
Merrni detyren e shtate te shtepise
Java e njembedhjete
Leksioni: Lojra me Vendime te Perbashketa—Ekuilibri i Negociatave; Investimet e Paverifikueshme, Vonesa, Opsionet dhe Pronesia
Kapitujt 20 dhe 21
Seminari: Ushtrime
Merrni detyren e tete te shtepise
Java e dymbedhjete
Leksioni: Lojra te Perseritura dhe Reputacioni; Perplasje, Marreveshje Tregetare dhe Deshira e Mire
Kapitujt 22 dhe 23
Seminari: Ushtrime
Merrni detyren e nente te shtepise
Java e trembedhjete
Leksioni: Ngjarja e Rastesishme dhe Informacioni i Paplote; Risku dhe Nxitja ne Kontaktim
Kapitujt 24 dhe 25
Seminari: Ushtrime
Merrni detyren e dhjete te shtepise
Java e katermbedhjete
Leksioni: Ekuilibri Nash Baisian dhe Racionalizueshmeria; Limonat, Ankandi, dhe Agregimi i Informacionit
Kapitujt 26 dhe 27
Seminari: Ushtrime
Java e pesembedhjete
Leksioni: Ekuilibri Baisian i Persosur; Sinjalizimi per Tregun e Punes dhe Reputacioni
Kapitujt 28 dhe 29
Seminari: Ushtrime
[i] Ceshtjet e shenuara me shkronja korsive jane aplikime.
Subscribe to:
Posts (Atom)
